Tìm tất cả giá trị của tham số m để OAB là một tam giác

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và $d:\frac{x-2}{x-1}=-x+m$ 

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x-2=(-x+m)(x-1)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ f\left(x\right)=x^2-mx+m-2=0(*)\end{array}\right.\end{array}$ 

Để (C) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khác 1

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=1^2-m+m-2\ne 0\\ \Delta ={\left(-m\right)}^2-4(m-2)>0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}-1\ne 0\\ m^2-4m+8m>0\end{array}\right.\\ \iff m\in ℝ.\end{array}$

Mặt khác OAB là tam giác nên $O\in d$  hay $m\ne 0$ .

Gọi $A(x_1;-x_1+m)$ và $B(x_2;-x_2+m)$ . Suy ra $\left\{\begin{array}{l}OA=\sqrt{2{x_1}^2-2m{x}_1+m^2}\\ OB=\sqrt{2{x_2}^2-2m{x}_2+m^2}\end{array}\right.$ 

Do $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình (*) nên $\left\{\begin{array}{l}{x_1}^2-m{x}_1=2-m\\ {x_2}^2-m{x}_2=2-m\end{array}\right.$ 

Khi đó  $\left\{\begin{array}{l}OA=\sqrt{2(2-m)+m^2}\\ =\sqrt{m^2-2m+4}\\ OB=\sqrt{2(2-m)+m^2}\\ =\sqrt{m^2-2m+4}\end{array}\right.$

Từ giả thiết ta có :

$\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{m^2-2m+4}}=1\\ \iff \sqrt{m^2-2m+4}=2\\ \iff m(m-2)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}\right.\end{array}$

Đối chiếu với điều kiện ta được m=2 thỏa mãn.