Cho hai số thực a,b thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có $P=\frac{{\left(\frac{2}{b}\right)}^a}{{\left[{\left(\frac{2}{b}\right)}^a-1\right]}^2}+\frac{1}{2}.{\left(\frac{2}{b}\right)}^a+1.$ Đặt $t={\left(\frac{2}{b}\right)}^a,$ do $0<b<2\to t>1.$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t}{{\left(t-1\right)}^2}+\frac{t}{2}+1$ trên $\left(1;+\infty .\right)$ 

Đạo hàm  

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(t\right)=\frac{{(t-1)}^2-2t(t-1)}{{(t-1)}^4}+\frac{1}{2}\\ =\frac{t+1}{{(t-1)}^3}+\frac{1}{2};\\ f\text{'}\left(t\right)=0\\ \iff t=3.\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thấy $\min f\left(x\right)=f\left(3\right)=\frac{13}{4}.$ Vậy $P_{\min }=\frac{13}{4}.$