Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Các phương trình $\begin{array}{l}\left(Oxy\right):z=0;\\ \left(Oxy\right):x=0;\\ \left(Oxy\right):y=0\end{array}$ . Giả sử $\begin{array}{l}M\left(x_M;y_M;0\right),\\ N\left(x_N;0;z_N\right),\\ P\left(0;y_p;z_p\right)\end{array}$. Tính theo giả thiết có M là trung điểm của AN nên ta có $M\left(\frac{6+x_N}{2};-\frac{3}{2};\frac{4+z_N}{2}\right)$ . Do $z_M=0$ nên $\begin{array}{l}\frac{4+z_N}{2}=0\iff z_N=-4\\ \Rightarrow M\left(x_M;-\frac{3}{2};0\right)\end{array}$ và $N\left(x_N;0;-4\right)$ .

Lại có N là trung điểm của MP nên $N\left(\frac{x_M}{2};\frac{2y_P-3}{4};\frac{z_P}{2}\right)$  .

Mà $\left\{\begin{array}{l}{y}_N=0\\ z_N=-4\end{array}\right.$ nên $\left\{\begin{array}{l}\frac{2y_P-3}{4}=0\\ \frac{z_P}{2}=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_P=\frac{3}{2}\\ z_P=-8\end{array}\right.$  Khi đó $P\left(0;\frac{3}{2};-8\right)$.

Từ

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{6+x_N}{2}\\ x_M=\frac{x_M}{2}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x_M-x_N=6\\ x_M-2x_N=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M=4\\ x_N=2\end{array}\right.\end{array}$

 Vậy  $M\left(4;-\frac{3}{2};0\right),N\left(2;0;-4\right).$

Mặt khác  

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AN}\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B-6=2(2-6)\\ y_B+3=2(0+3)\\ z_B-4=2(-4-4)\end{array}\right.\\ \Rightarrow B(-2;3;-12)\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=3\\ c=-12\end{array}\right..\end{array}$

Vậy  $a+b+c=-2+3-12=-11$