a, b lá các tham số thực. Đồ thị (C), (H) có chung ít nhất 1 điểm cực trị

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét hệ phương trình

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=3x^2+6ax+3=0(*)\\ g\text{'}\left(x\right)=3x^2+6bx+9=0\end{array}\right.\\ \Rightarrow 6x(a-b)=6\iff x=\frac{1}{a-b}.\end{array}$ 

Áp dụng công thức nghiệm do phương trình (*) ta có $x=-a\pm \sqrt{a^2-1}$ với $a\in (-\infty ;-1)\cup \left(1;+\infty \right)$ .

*Trường hợp 1: $x=-a+\sqrt{a^2-1}.$ 

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{1}{a-b}=-a+\sqrt{a^2-1}\\ \iff b=a+\frac{1}{a-\sqrt{a^2-1}}\\ =2a+\sqrt{a^2-1}\end{array}$ 

Suy ra  

$\begin{array}{l}P=\left|a\right|+2\left|b\right|\\ =\left|a\right|+\left|4a+2\sqrt{a^2-1}\right|\\ \ge \left|5a+2\sqrt{a^2-1}\right|\end{array}$

Xét hàm số

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=5x+2\sqrt{x^2-1};\\ x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right).\end{array}$ 

Đạo hàm

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=5+\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}};\\ f\text{'}\left(x\right)=0\\ \iff 5\sqrt{x^2-1}=-2x\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le 0\\ 25\left(x^2-1\right)=4x^2\end{array}\right.\end{array}$ 

$\iff x=-\frac{5}{\sqrt{21}}$  (thỏa mãn).

Lại có $f\left(-\frac{5}{\sqrt{21}}\right)=-\sqrt{21}\Rightarrow P\ge \sqrt{21}$ (lập bảng biến thiên của hàm số $\left|f\left(x\right)\right|$).

*Trường hợp 2:Tương tự, ta tìm được  $P\ge \sqrt{21}.$