Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực trên

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Phương trình tương đương với  ${2017}^{\sin x}=\sin x+\sqrt{1+{\sin }^{2}x}.$

Đặt $t=\sin x,t\in \left[-1;1\right]$ thì phương trình trở thành ${2017}^t=t+\sqrt{1+t^2}.$ 

$\iff t.ln2017-ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)=0$, do $t+\sqrt{1+t^2}>\sqrt{t^2}+t=\left|t\right|+t\ge \mathrm{0,}\forall t.$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)=t.\ln 2017-\ln \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$ trên $\left[-1;1\right].$

Đạo hàm 

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(t\right)=\frac{\sqrt{t^2+1}.\ln 2017-1}{\sqrt{1+t^2}}\\ >\frac{\ln 2017-1}{\sqrt{1+t^2}}>\mathrm{0,}\forall t\in \left[-1;1\right].\end{array}$  

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên $\left[-1;1\right]$. Mà $f\left(0\right)=0$nên phương trình $f\left(t\right)=0$ có duy nhất một nghiệm t=0.

Như vậy $\sin x=0\iff x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z}).$ Vì $x\in \left[-5\pi ;2017\pi \right]$ nên $-5\le k\le 2017.$ 

Vậy có $2017–\left(–5\right)+1=2023$ giá trị k nên phương trình đã cho có 2023 nghiệm thực trên $\left[-5\pi ;2017\pi \right]$