Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{4^{\sin x}+6^{m+\sin x}}{9^{\sin x}+4^{1+\sin x}}\\ =\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2\sin x}+6^m.{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sin x}}{1+4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2\sin x}},\end{array}$

đặt $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sin x}$

$\Rightarrow f\left(t\right)=\frac{t^2+nt}{1+4t^2}$ với $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}\le t\le \frac{3}{2}\\ n=6^m>0\end{array}\right.$

Bài toán trở thành tìm n >0 để  $f\left(t\right)\ge \frac{1}{3}$ với $t\in \left[\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right]$

$\begin{array}{l}\Rightarrow f\left(t\right)\ge \frac{1}{3}\\ \iff \frac{t^2+nt}{1+4t^2}\ge \frac{1}{3}\\ \iff n\ge \frac{t}{3}+\frac{1}{3t}\end{array}$

Xét $g\left(t\right)=\frac{t}{3}+\frac{1}{3t}$ trên đoạn $\left[\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right]$ có $\underset{\left[\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right]}{\min }\left(t\right)=g\left(1\right)=\frac{2}{3}$

Theo bài ra $\Rightarrow g\left(t\right)\le n$ phải có nghiệm trên $\left[\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right]$

$\iff n\ge \underset{\left[\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right]}{\min }g\left(t\right)\iff n\ge \frac{2}{3}\iff m\ge {\log }_6\frac{2}{3}$