Phần nguyên của tổng a + b là?

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

+ Ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\end{array}\right.$

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có $I=\left(x\tan x\right)\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{\pi }{3}}\\ {}_0\end{array}\right.-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{\sin xdx}{\cos x}$

$\begin{array}{l}=\left(x\tan x\right)\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{\pi }{3}}\\ {}_0\end{array}\right.+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{d\left(\cos x\right)}{\cos x}\\ \iff I=\left(x\tan x\right)\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{\pi }{3}}\\ {}_0\end{array}\right.+\ln \left(\cos x\right)\left|\begin{array}{l}{}^{\frac{\pi }{3}}\\ {}_0\end{array}\right.\\ =\frac{\pi }{\sqrt{3}}-\ln 2\end{array}$

Suy ra 

$\begin{array}{l}a=\frac{1}{\sqrt{3}};\\ b=\ln \mathrm{2,}a+b\\ =\frac{1}{\sqrt{3}}+\ln 2\approx \mathrm{1,27049745}\end{array}$