Tìm m để phương trình sau có nghiệm căn (3+x)+ căn (6-x)

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp:

Phương trình đã cho có nghiệm <=> đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(3+x\right)\left(6-x\right)}$ tại ít nhất 1 điểm nên ta xét hàm f(x), từ đó tìm ra điều kiện của m.

Cách giải:

Xét hàm số: $f\left(x\right)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(3+x\right)\left(6-x\right)}$ trên $\left[-3;6\right]$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=0\iff \sqrt{6-x}-\sqrt{3+x}+2x-3=0 \\ \iff \frac{3-2x}{\sqrt{6-x}-\sqrt{3+x}}-\left(3-2x\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\in \left[-3;6\right]\\ \sqrt{6-x}-\sqrt{3+x}=1\left(*\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\left(*\right)\iff 9+2\sqrt{\left(6-x\right)\left(3+x\right)}=1\iff 2\sqrt{\left(6-x\right)\left(3+x\right)}=-8$ (loại)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để phương trình f(x) có nghiệm thì: $\frac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le m\le 3$