Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có góc giữa đường thẳng A'B với mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của BC thì $BC\perp \left(A\text{'}AM\right)$ .

Từ A kẻ $AH\perp A\text{'}M$,$H\in A\text{'}M$. Khi đó $AH\perp (A\text{'}BC)$ .

Suy ra $d\left(A,\left(A\text{'}BC\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ .

Góc giữa đường thẳng $A\text{'}B$ và mặt phẳng (ABC) bằng góc $\overbrace{A\text{'}MA}$ .

Theo giả thiết ta có $\overbrace{A\text{'}MA}=60°$

Đặt AB = 2x thì $AM=x\sqrt{3};A\text{'}A=2x\sqrt{3}$ .

Suy ra $AH=\frac{A\text{'}A.AM}{\sqrt{A\text{'}{A}^2+A{M}^2}}=\frac{2x\sqrt{15}}{5}$ 

Từ giả thiết ta có $\frac{2x\sqrt{15}}{5}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{5a\sqrt{15}}{12}$ Do đó

$AA\text{'}=\frac{5a}{2};S_{ABC}=\frac{25a^2\sqrt{3}}{48}$

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V=\frac{125\sqrt{3}}{96}{a}^3$ .