Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình Có bao nhiêu giá

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

*Phương trình $\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x\iff m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}={\sin }^{3}x$ 

$\iff (m+3\sin x)+3\sqrt[3]{m+3\sin x}={\sin }^{3}x+3\sin x \left(1\right)$

* Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t$ trên $\mathrm{ℝ}$. Ta có $f\text{'}\left(t\right)=3t^2+3>0\forall t\in \mathrm{ℝ}$ nên hàm số f(t) đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Suy ra (1) $f\left(\sqrt[3]{3+3\sin x}\right)f(\sin x)\iff \sqrt[3]{3+3\sin x}=\sin x$

Đặt sin x = t,$t\in [-1;1]$ Phương trình trở thành $t^3-3t=m$

* Xét hàm số g(t) trên $t\in \left[-1;1\right]$ Ta có $g\text{'}\left(t\right)=3t^2-3\le 0,\forall t\in [-1;1]$ và $g\text{'}\left(t\right)=0\iff t=\pm 1$ Suy ra hàm số g(t) nghịch biến trên [-1;1]

* Để phương trình có nghiệm đã cho có nghiệm thực $\iff$ Phương trình $t^3-3t=m$ có nghiệm trên [-1;1]

$\underset{[-1;1]}{min}g\left(t\right)\le m\le \underset{[-1;1]}{max}g\left(t\right)\iff g\left(1\right)\le m\le g(-1)\iff -2\le m\le 2$

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn là $m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}$