Cho hàm số y=x^3-3mx^2+6 giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Tính y’ và tìm nghiệm của $y\text{'}=0$ .

- Biện luận các trường hợp điểm x=3 nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.

Cách giải:

TXĐ: $D=R$

$y\text{'}=3x^2-6mx$

Ta có: $y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\to y=6\\ x=2m\to y=-4m^3+6\end{array}\right.$

Xét TH1: m=0 . Hàm số đồng biến trên $\left[0;3\right]$. $\Rightarrow \underset{\left[0;3\right]}{Min}y=y\left(0\right)=6\to$ loại.

Xét TH2: $m\ge \frac{3}{2}\Rightarrow 2m>3>0$. Khi đó, hàm số nghịch biến trên $\left[0;3\right]\subset \left[0;2m\right]$

$\Rightarrow \underset{\left[0;3\right]}{Min}y=y\left(3\right)=33-27m=2\to m=\frac{31}{27}<\frac{3}{2}$(loại)

Xét TH3: $\frac{3}{2}>m>0\Rightarrow 3>2m>0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\left(0;6\right)$ và điểm cực tiểu là $\left(2m,-4m^3+6\right).$

Khi đó , GTNN trên $\left[0;3\right]$ là $y\left(2m\right)=-4m^3+6$

$\Rightarrow -4m^3+6=2\iff m^3=1\iff m=1$ (thỏa mãn)

Xét TH4: $m<0\to \left(0;6\right)$ là điểm cực tiểu và trên $\left[0;3\right]$ hàm số đồng biến.

$\Rightarrow y_{\min }=6\to$loại.

Vậy m=1 là giá trị cần tìm.

Đáp án D.

Chú ý khi giải:

HS cần phải xét tất cả các trường hợp và chú ý loại nghiệm. nhiều em sai lầm kết luận $m=\frac{31}{27}$ mà không chú ý điều kiện của trường hợp đó là $m\ge \frac{3}{2}$