Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có Trong không gian

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có $\overrightarrow{AB }=\left(-3;-1;-1\right),\overrightarrow{AC }=\left(-1;-2;-3\right)$ nên mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $\left[\overrightarrow{AB },\overrightarrow{AC }\right]=(1;-8;5)$

Suy ra (ABC) có phương trình là $x-8y+5z+17=0$ 

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC. Ta có:

$\overrightarrow{CH }=\left(x-1;y-1;z+2\right);\overrightarrow{BH }=\left(x+1;y-2;z\right)$

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên

$\left\{\begin{array}{l}BH\perp AC\\ CH\perp AB\\ H\in \left(ABC\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BH }.\overrightarrow{AC }=0\\ \overrightarrow{CH }.\overrightarrow{AB }=0\\ H\in \left(ABC\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+2y+3z=3\\ 3x+y+z=2\\ x-8y+5z=-17\end{array}\iff \left(x;y;z\right)\right.=\left(\frac{2}{15};\frac{29}{15};-\frac{1}{3}\right)$

Suy ra $H\left(\frac{2}{15};\frac{29}{15};-\frac{1}{3}\right)$

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nhận $\left[\overrightarrow{AB },\overrightarrow{AC}\right]=\left(1;-8;5\right)$ làm một vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình đường thẳng d là $\frac{x-{\displaystyle \frac{2}{15}}}{1}=\frac{y-{\displaystyle \frac{29}{15}}}{-8}=\frac{z+{\displaystyle \frac{1}{3}}}{5}$ 

Dễ thấy điểm M(2;13;9) thuộc đường thẳng d nên phương án đúng là B.