Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như hình vẽ dưới đây

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cách 1: Xét phương trình:

$\begin{array}{l}{x}^2=3\iff x=\pm \sqrt{3};\\ x^2=1\iff x=1\end{array}$

Quan sát hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2,y=\mathrm{3,}x=0$ là

$$\begin{gathered} S_1=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{0}{\int }}\left|x^2-3\right|dx=\left|\underset{-\sqrt{3}}{\overset{0}{\int }}\left(x^2-3\right)dx\right| \\ =\left|\left(\frac{x^3}{3}-3x\right)\left|\begin{array}{l}0\\ -\sqrt{3}\end{array}\right.\right|=2\sqrt{3} \end{gathered}$$ 

(đvdt).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2,y=\mathrm{1,}x=0$ là

$$\begin{gathered} S_2=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|x^2-1\right|dx=\left|\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^2-1\right)dx\right| \\ =\left|\left(\frac{{\displaystyle x^3}}{{\displaystyle 3}}-x\right)\left|\begin{array}{l}0\\ -1\end{array}\right.\right|=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}} \end{gathered}$$

 (đvdt).

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là $S=S_1-S_2=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}$ (đvdt).

Cách 2: Ta có $y=x^3\iff \left\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ x=\pm \sqrt{y}\end{array}\right.$. Từ hình vẽ ta thấy $x<0\Rightarrow x=-\sqrt{y}$.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\begin{array}{l}S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|-\sqrt{y}-0\right|dy\\ =\underset{1}{\overset{3}{\int }}\sqrt{y}dy=\frac{2\sqrt{y^3}}{3}\left|\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right.=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\end{array}$

 (đvdt).