Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và Tính giá trị của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Dễ thấy 

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx\\ =9+2=11\end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l}I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(\frac{x}{3}\right)+f\left(3x\right)\right]dx\\ =\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(\frac{x}{3}\right)dx+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(3x\right)dx=I_1+I_2\end{array}$

* Tính $I_1=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(\frac{x}{3}\right)dx$ : Đặt $t=\frac{x}{3}\Rightarrow dx=3dt$. Đổi cận  $x=0\Rightarrow t=0;x=3\Rightarrow t=1$.

Khi đó

$\begin{array}{l}{I}_1=3\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt\\ =3\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=3.9=27\end{array}$

* Tính $I_2=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(3x\right)dx$: Đặt $t=3x\Rightarrow dx=\frac{1}{3}dt$. Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0;x=3\Rightarrow t=9$.

Khi đó

$\begin{array}{l}{I}_2=\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(t\right)dt\\ =\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{11}{3}\end{array}$

 Vậy $I=I_1+I_2=27+\frac{11}{3}=\frac{92}{3}$.