Cho tứ diện đều ABCD. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng(BCD). Do ABCD là tứ diện đều nên tâm H là tâm đường trong ngoại tiếp $\Delta BCD$ .

Đặt cạnh của tứ diện là a. Gọi M  là trung điểm của CD.

Do $\Delta BCD$ đều nên

$\begin{array}{l}BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\end{array}$

Ta có  $\Delta ABH$vuông tại H nên

$\begin{array}{l}AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}\\ =\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\end{array}$

Từ giả thiết ta có

$\begin{array}{l}AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}=6\\ \iff a=3\sqrt{6}\\ \Rightarrow S_{\Delta BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{2}\end{array}$

 (đvdt).

Vậy thể tích của tứ diện ABCD là

$\begin{array}{l}AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}=6\\ \iff a=3\sqrt{6}\\ \Rightarrow S_{\Delta BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{2}\end{array}$

 (đvtt).