Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Áp dụng định lý hàm số sin, ta có $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=2R$

 $\begin{array}{l}\iff \frac{BC}{\sin {75}^0}=\frac{AC}{\sin {45}^0}=\frac{AB}{\sin {60}^0}=2R\\ \iff \left\{\begin{array}{l}AB=2R.\sin {60}^0=R\sqrt{3}\\ BC=2R.\sin {75}^0=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}R\\ AC=2R.\sin {45}^0=R\sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}$

Lại có

$\begin{array}{l}{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sin\widehat{BAC}=\frac{1}{2}BH.AC\\ \iff BH=AB.sin\widehat{BAC}=R\sqrt{3}.\sin {75}^0\end{array}$

 $\iff BH=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{4}R$.

Khi quay $\Delta ABC$ quanh AC thì $\Delta BHC$ tạo thành hình nón tròn xoay (N) có đường sinh $l=BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}R$, bán kính đáy $r=BH=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{4}R$.

Diện tích xung quanh hình nón  (N) là

$\begin{array}{l}{S}_{xq}=\pi rl\\ =\pi \frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{4}R.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}R\\ =\frac{3+2\sqrt{3}}{2}\pi R^2\end{array}$

 (đvdt).