Cho hàm số . Khi đó bằng (đạo hàm cấp n của hàm số)

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có $y\text{'}=-\frac{1}{x^2}={\left(-1\right)}^1.\frac{1!}{x^2}$; $y\text{'}\text{'}=-\frac{2}{x^3}={\left(-1\right)}^2.\frac{2!}{x^3}$; $y\text{'}\text{'}\text{'}=-\frac{6}{x^4}={\left(-1\right)}^3.\frac{3!}{x^4}$.

 Dự đoán $y^{\left(n\right)}={\left(-1\right)}^n.\frac{n!}{x^{n+1}}\left(*\right)$. Chứng minh mệnh đề (*):

* Với n=1 thì $\left(*\right)\iff y\text{'}=-\frac{1}{x^2}$. Khi đó (*) đúng.

* Giả sử (*) đúng với $n=k,\left(k\ge 1\right)$ , tức là $y^{\left(k\right)}={\left(-1\right)}^k.\frac{k!}{x^{k+1}}$ .

Khi đó $y^{\left(k+1\right)}={\left(y^{\left(k\right)}\right)}^{\text{'}}={\left(-1\right)}^k.\frac{k!}{x^{k+1}}$$={\left(-1\right)}^k.\left(-\frac{\left(k+1\right).k!.x^k}{{\left(x^{k+1}\right)}^2}\right)$$={\left(-1\right)}^{k+1}.\frac{\left(k+1\right)!}{x^{k+2}}$. Vậy mệnh đề (*) cũng đúng với n=k+1 nên nó đúng với mọi n.