Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh bên AA'=2a,AB=AC =a Cho lăng trụ đứng

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Nhận thấy $∆ABC$ là hình chiếu của $∆AMC\text{'}$ lên mặt phẳng (ABC).

Gọi $\phi$ là góc giữa (AMC') và $\left(ABC\right)\Rightarrow S_{∆ABC}=S_{∆AMC\text{'}}.\cos \phi \Rightarrow \cos \phi =\frac{S_{∆ABC}}{S_{∆AMC\text{'}}}$ 

Ta có $S_{∆ABC}=\frac{1}{2}{a}^2.\sin 120°=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ 

$A\text{'}C=a\sqrt{5};AM=a\sqrt{2};BC=\sqrt{a^2+a^2-2a\cos 120°}=a\sqrt{3}\Rightarrow C\text{'}M=2a$

Đặt $p=\frac{a\sqrt{5}+a\sqrt{2}+2a}{2}$

$\Rightarrow S_{∆AMC\text{'}}=\sqrt{p(p-a\sqrt{2})(p-a\sqrt{5})(p-2a)}=\frac{\sqrt{31}}{4}{a}^2$

$\Rightarrow \cos \phi =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{4}{\sqrt{31}{a}^2}=\sqrt{\frac{3}{31}}=\frac{\sqrt{93}}{31}$