Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x)+2f(x)=cosx

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Cách 1: Thay x bởi -x ta được $f\left(x\right)+2f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right)=\cos x$. Kết hợp với giả thiết ta có

$\begin{array}{l}f\left(-x\right)+2f\left(x\right)\\ =f\left(x\right)+2f\left(-x\right)\\ \iff f\left(x\right)=f\left(-x\right)\end{array}$

Suy ra $f\left(x\right)=\frac{1}{3}\cos x$ . Vậy $I=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx=\frac{2}{3}$.

Cách 2: Từ giả thiết ta có $\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[f\left(-x\right)+2f\left(x\right)\right]dx=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx$

$\begin{array}{l}\iff \underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(-x\right)dx+2\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=2\\ \iff \underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(t\right)dt+2\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=2\\ \iff \underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{2}{3}.\end{array}$