CHO z1,z2 là hai số phức thảo mãn Tính giá trị của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Giả sử $z=x+yi,\left(x,y\in ℝ\right)$. Từ giả thiết ta có $\left|2\left(x+yi\right)-i\right|=\left|2+i\left(x+yi\right)\right|$

$\begin{array}{l}\iff \left|2x+\left(2y-1\right)i\right|=\left|2-y+xi\right|\\ \iff 4x^2+{\left(2y-1\right)}^2={\left(y-2\right)}^2+x^2\\ \iff x^2+y^2=1\end{array}$

Suy ra tập hợp các điểm A, B biểu diễn hai số phức $z_1$, $z_2$ là đường tròn tâm $O\left(0;0\right)$, bán kính $R=1=OA=OB$.

Giả sử $z_1=a_1+b_{1}i$, $z_2=a_2+b_{2}i$,$\left(a_1,a_2,b_1,b_2\in ℝ\right)$ . Khi đó $A\left(a_1;b_1\right)$, $B\left(a_2;b_2\right)$.

Từ giả thiết $\left|z_1-z_2\right|=1$ ta được:

$\begin{array}{l}\left|\left(a_1-a_2\right)+\left(b_1-b_2\right)i\right|=1\\ \iff \sqrt{{\left(a_1-a_2\right)}^2+{\left(b_1-b_2\right)}^2}=1\\ \iff AB=1\end{array}$

Từ đó $OA=OB=AB\Rightarrow \Delta OAB$ đều cạnh bằng 1.

Gọi M  là trung điểm AB thì $M\left(\frac{a_1+b_1}{2};\frac{a_2+b_2}{2}\right)$ và $OM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Khi đó 

$\begin{array}{l}P=\left|z_1+z_2\right|\\ =\left|\left(a_1+a_2\right)+\left(b_1+b_2\right)i\right|\\ =\sqrt{{\left(a_1+a_2\right)}^2+{\left(b_1+b_2\right)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}=2\sqrt{{\left(\frac{a_1+a_2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b_1+b_2}{2}\right)}^2}\\ =2OM=2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\end{array}$