Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 1;0;5 ) và B ( 2;2;6 )

* Hướng dẫn giải

Ta thấy và .

Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác MAB ta có:

$$\begin{gathered} M{A}^2=B{A}^2+B{M}^2 \\ -2BA.BM\cos \left({60}^o\right) \\ =6+\frac{3}{2}-2\sqrt{6}.\frac{\sqrt{6}}{2}.\frac{1}{2} \\ =\frac{9}{2} \end{gathered}$$

Suy ra $MA=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Từ đây ta nhận thấy $A{B}^2=M{A}^2+M{B}^2$ nên tam giác MAB vuông tại M và có $\widehat{MAB}={30}^o$.

Mặt khác:

$$\begin{gathered} \sin \left(\widehat{∆};\left(a\right)\right)=\frac{\left|2+2-1\right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \left(\widehat{∆};\left(a\right)\right)={30}^o=\widehat{MAB} \end{gathered}$$.

Từ đó suy ra M chính là hình chiếu của B lên mặt phẳng (a).

Khi đó $MB: \frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-6}{-1}$

nên M ( 2m + 2; m + 2; -m + 6 )

Vì M thuộc mặt phẳng (a) nên

2( 2m + 2 ) + ( m + 2 ) - ( -m + 6 ) + 3 = 0$\Rightarrow m=\frac{-1}{2}$

Vậy M $\left(1;\frac{3}{2};\frac{13}{2}\right)$

Đáp án A