Trong không gian tọa độ cho đường thẳng d: x-3/2=y+2/1=z+1/-1 và mp (P): x+y+z+2=0

* Hướng dẫn giải

Ta có phương trình tham số của d là:

$d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}$

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình:

3 + 2t - 2 + t - 1 - t + 2 = 0 nên t = -1 nên M ( 1;-2;0 )

Lại có VTPT của (P) là $\overrightarrow{n_P}\left(1;1;1\right)$, VTCP của d là $\overrightarrow{u_d}\left(2;1;-1\right)$

Vì $∆$ nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP $\overrightarrow{u_{∆}}=\left[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{n_p}\right]=\left(2;3;-1\right)$

Gọi N ( x;y;z ) là hình chiếu vuông góc của M trên $∆$, khi đó $\overrightarrow{MN}\left(x-1;y+3;z\right)$

Ta có $\overrightarrow{MN}$ vuông góc với $\overrightarrow{u_{∆}}$ nên ta có hệ phương trình: 2x - 3y + z - 11 = 0

Lại có $N\in \left(P\right)$ và MN = $\sqrt{42}$ ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x-3y+z-11=0\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+z^2=42\end{array}\right.$

Giải hệ ta tìm được hai nghiệm ( x;y;z ) là ( 5;-2;-5 ) và ( -3;-4;5 )

- Nếu N ( 5;-2;-5 ) ta có phương trình

$∆:\frac{x-5}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z+5}{1}$

- Nếu N ( -3;-4;5 ) ta có phương trình

$∆=\frac{x+3}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z-5}{1}$

Đáp án D