Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAD là

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của $AD\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SH=a\sqrt{3}$

Cho hệ trục tọa độ như hình vẽ $\Rightarrow D(a;0;0),M(0;2a;0),N(a;a;0)$

$\Rightarrow$ Trung điểm MN là $I\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{2};0\right)$ có $S\left(0;0;a\sqrt{3}\right)$,$C\left(a;2a;0\right)$

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với  (ABCD)

$\Rightarrow$d có vecto chỉ phương  $\overrightarrow{k }=\left(0;0;1\right)$

$∆NCM$ vuông tại $C$ là tâm đường tròn ngoại tiếp

$\Rightarrow$ d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

$\Rightarrow$ Tâm J của mặt cầu ngoại tiếp SCMN thuộc d

Ta có d qua $I\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{2};0\right)$ và $\overrightarrow{k }=\left(0;0;1\right)$ là vecto chỉ phương $\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{a}{2}\\ y=\frac{3a}{2}\\ z=t\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow J\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{2};t\right)$ mà $JC=JS\Rightarrow {\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+t^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2+{\left(a\sqrt{3}-t\right)}^2$

$\Rightarrow t=\frac{5a\sqrt{3}}{6}$ Bán kính $R=JC=\frac{\sqrt{93}}{6}a$.