Cho khai triển nhị thức: (căn 3 a/b+b^2 căn 3 b^2/a căn 3 a^3)^3n

* Hướng dẫn giải

Xét $\frac{3}{2k+1}{C}_{2n}^{2k}$ = $\frac{3}{2k+1}{C}_{2n+1}^{2k+1}$ và $-\frac{1}{2k+1}{C}_{2n}^{2k}$ = $-\frac{1}{2k+1}{C}_{2n+1}^{2k+1}$

Điều kiện bài toán tương đương với:

$$\begin{gathered} \frac{3}{2n+1}\left(C_{2k}^{2n}+C_{2n+1}^3\right) \\ -\frac{1}{2n+1}\left(C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4\right) \\ =\frac{10923}{5} \\ \iff \frac{2}{2n+1}.\frac{2^{2n+1}}{2} \\ -\frac{1}{2n+1}\left(\frac{2^{2n+1}}{2}-C_{2n+1}^0\right) \\ =\frac{10923}{5} \end{gathered}$$  

Giải phương trình này hết sức đơn giản ta tìm được n = 7.  Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\frac{b^2\sqrt[3]{b^2}}{a\sqrt[3]{a^2}}\right)}^{21} \\ \sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k{a}^{\frac{k}{3}}{b}^{\frac{k}{3}} \\ {b}^{\frac{8(21-k)}{3}}{a}^{\frac{-5\left(21-k\right)}{3}} \end{gathered}$$

Hệ số của số hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng $-\frac{1}{2}$ nên

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{k}{3}}-35+{\displaystyle \frac{5k}{35}}}{-{\displaystyle \frac{k}{3}}+56-{\displaystyle \frac{8k}{3}}}=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow k=14 \end{gathered}$$

Vậy hệ số của bài toán thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{21}^{14}=116280$

Đáp án D