Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n > 4 ). Tìm n

* Hướng dẫn giải

$C_n^1;C_n^2;C_n^3$ lần lượt là số các tập con của A gồm 1;3;5… phần tử. Ta luôn có 

$$\begin{gathered} C_n^0+C_n^1+..+C_n^n \\ =2^n \\ \Rightarrow C_n^0+C_n^1+... \\ =2^{n-1} \end{gathered}$$

Từ giả thiết ta có phương trình:

$$\begin{gathered} 2^{n-1}=16n \\ \iff 2^{n-5}=n \end{gathered}$$

Vì n > 4 nên ta xét n = 5 thấy không thỏa (*), do đó ta xét $n\ge 6;n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=2^{x-5}-x$ liên tục trên nửa khoảng $[6;+\infty ),x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=2^{x-5}\ln \left(2-1\right)>0$; $\forall x\ge 6\Rightarrow f\left(x\right)$ liên tục và đồng biến trên nửa khoảng $[6;+\infty ),x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và f(8) = 0 nên x = 8 là nghiệm duy nhất của phương trình. $2^{x-5}-x=0;x\ge 6$. Vậy n = 8 thỏa mãn đề bài.

Đáp án A