Khi hàm số liên tục trên R, hãy tính giá trị của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Hàm số liên tục trên từng khoảng  $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

Ta có

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+ax+b\right)\\ =a+b+1=f\left(1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^6-6x+5}{x^2-2x+1}\\ =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{6x^5-6}{2x-2}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{30x^4}{2}=15\end{array}$

Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\\ \iff a+b+1=15\iff a+b=14\end{array}$

Suy ra ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a+b=14\\ a^2+ab+b^2=148\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2+2ab+b^2=196\\ a^2+ab+b^2=148\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}ab=48\\ a^2+b^2=100\end{array}\right.\end{array}$

Do đó 

$\begin{array}{l}T=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\\ =14.\left(100-48\right)=728\end{array}$