Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ta có góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABCD) chính là góc $\widehat{SBO}$ nên $\widehat{SBO}=60°$.

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD thì ta có $CD\perp \left(SOM\right)$.

Từ O kẻ $OH\perp SM,HM$ thì $OH=d\left(O,\left(SCD\right)\right)$.

Đặt $AB=2x$ thì $OM=x$ và $OB=x\sqrt{2}$.

Tam giác SOB vuông tại O nên $SO=OB\tan \widehat{SBO}=x\sqrt{6}$ .

Ta có $OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}}$ nên $OH=\frac{x\sqrt{6}.x}{\sqrt{6x^2+x^2}}=\frac{x\sqrt{42}}{7}$.

Theo giả thiết, ta có $\frac{x\sqrt{42}}{7}=\frac{a\sqrt{14}}{7}\iff x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do đó $AB=a\sqrt{3},SO=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$ .

Vì vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}.SO.S_{ABC}=\frac{3a^3\sqrt{2}}{4}$.

Vậy phương án đúng là B.