Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2-2mx+1-4m}{{\left(x-m\right)}^2}$.

Hàm số đồng biến trên $\left[2;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $f\text{'}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left[2;+\infty \right)$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}m\notin \left[2;+\infty \right)\\ x^2-2mx+1-4m\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left[2;+\infty \right)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m<2\\ 2m\le \frac{x^2+1}{x+2},\forall x\in \left[2;+\infty \right)\end{array}\right.\end{array}$ 

Bằng cách khảo sát hàm số $y=\frac{x^2+1}{x+2}$ trên nửa khoảng $\left[2;+\infty \right)$, ta được

$\underset{\left[2;+\infty \right)}{\min }y=y\left(2\right)=\frac{5}{4}$ 

Vì vậy

$\begin{array}{l}2m\le \frac{x^2+1}{x+2},\forall \left[2;+\infty \right)\\ \iff 2m\le \underset{\left[2;+\infty \right)}{\min }\frac{x^2+1}{x+2}=\frac{5}{4}\\ \iff m\le \frac{5}{8}\end{array}$.

Suy ra $a=\mathrm{5,}b=8$.

Do đó $a^2+b^2=89$.

Vậy phương án đúng là C.