Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có canh đáy a, cạnh bên hợp

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Áp dụng định lí Menelaus cho $\Delta SCD$ ta có:

$\frac{NS}{NC}.\frac{MC}{MD}.\frac{PD}{PS}=1\Rightarrow \frac{PD}{PS}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{PD}{SD}=\frac{1}{3}$.

Ta có: $\frac{V_{P.BQDC}}{V_{S.ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}.d\left(P,\left(ABCD\right)\right).S_{BCDQ}}{\frac{1}{3}.d\left(S,\left(ABCD\right)\right).S_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow V_{P.BQDC}=\frac{1}{4}{V}_{S.ABCD}$.

$$\begin{gathered} \frac{V_{P.NCB}}{V_{S.ABCD}}=\frac{V_{P.NCB}}{2.V_{D.SCB}}=\frac{\frac{1}{3}.d\left(P,\left(SCB\right)\right).S_{\Delta NCB}}{2.\frac{1}{3}.d\left(D,\left(SCB\right)\right).S_{\Delta SCB}} \\ =\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\Rightarrow V_{P.NCB}=\frac{1}{6}{V}_{S.ABCD}. \end{gathered}$$

Do đó $V_{PQD.NBC}=V_{P.BQDC}+V_{P.NCB}=\frac{5}{12}{V}_{S.ABCD}$.

Vậy tỉ số thể tích của 2 phần cần tìm là $\frac{7}{5}$.