Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có  $\widehat{SCH}=60°$và

$\begin{array}{l}HC=\frac{a\sqrt{7}}{3};\\ SH=HC\tan \widehat{SCH}=\frac{a\sqrt{21}}{3}\end{array}$

Từ A kẻ tia $Ax//CB$ (như hình vẽ). Khi đó $BC//\left(SAx\right)$ và do $BA=\frac{3}{2}HA$ nên

$\begin{array}{l}d\left(BC,SA\right)=d\left(BC,\left(SAx\right)\right)\\ =d\left(B,\left(SAx\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(H,\left(SAx\right)\right)\end{array}$

Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN.

Do $AN\perp \left(SHN\right)$ và $HK\perp SN$ nên $HK\perp \left(SAN\right)$. Khi đó $d\left(BC,SA\right)=\frac{3}{2}HK$.

Ta có

$\begin{array}{l}AH=\frac{2a}{3};\\ HN=AH\sin \widehat{NAH}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\end{array}$.

Suy ra $HK=\frac{HN.HS}{\sqrt{H{N}^2+H{S}^2}}=\frac{a\sqrt{42}}{12}$. Vậy $d\left(BC,SA\right)=\frac{a\sqrt{42}}{8}$.