Trên đường thẳng y=2x+1 có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{x-1-\left(x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-4}{{\left(x-1\right)}^2}$.

Tiếp tuyến tại $M\left(x_0;\frac{x_0+3}{x_0-1}\right)\in \left(C\right)$ là:

$y=\frac{-4}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0+3}{x_0-1}=\frac{-4x}{{\left(x_0-1\right)}^2}+\frac{x_0^2+6x_0-3}{{\left(x_0-1\right)}^2}$.

Tiếp tuyến đi qua $M\left(x_1;2x_1+1\right)$ nên:

$2x_1+1=\frac{-4x_1}{{\left(x_0-1\right)}^2}+\frac{x_0^2+6x_0-3}{{\left(x_0-1\right)}^2}$   

$$\begin{gathered} \iff \left(2x_1+1\right)\left(x_0^2-2x_0+1\right)=x_0^2+6x_0-3-4x_1 \\ \iff \left(2x_1-1\right)x_0^2-4\left(x_1+2\right)x_0+6x_1+4=0 \end{gathered}$$ (*)

Qua $M\left(x_1;2x_1+1\right)$ kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) nên (*) có nghiệm duy nhất

$$\begin{gathered} \iff {\Delta }^{\text{'}}=4{\left(x_1+2\right)}^2-\left(2x_1-1\right)\left(6x_1+4\right)=0 \\ \iff -4x_1^2+7x_1+10=0\iff x_1=\frac{7\pm \sqrt{209}}{8} \end{gathered}$$.

Vậy có 2 điểm từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.