Xét các hình chóp S.ABCD thỏa mãn các điều kiện: đáy ABCD

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có $BC\perp AB;BC\perp SA$ nên $BC\perp \left(SAB\right)$.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Khi đó $AH\perp \left(SBC\right)$ và $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH$.

Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là góc $\widehat{SBA}$.

Đặt $\widehat{SBA}=\alpha$.

Theo giả thiết ta có $AB=\frac{a}{\sin \alpha };SA=\frac{a}{\cos \alpha }$.

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3{\sin }^2\alpha \cos \alpha }{a}^3$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

${\sin }^2\alpha .{\sin }^2\alpha .2{\cos }^2\alpha$$\le {\left(\frac{{\sin }^2\alpha +{\sin }^2\alpha +2{\cos }^2\alpha }{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$

Suy ra ${\sin }^2\alpha \cos \alpha \le \frac{2\sqrt{3}}{9}$. Do đó $V\ge \frac{\sqrt{3}}{2}{a}^3$.

Dấu bằng xảy ra khi ${\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha \Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{3}}$.

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^3$ khi $\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{3}}$.

Suy ra $V_0=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^3;p=\mathrm{1,}q=3$ 

$\Rightarrow T=\left(p+q\right)V_0=2\sqrt{3}{a}^3$.