Giả sử đường thẳng cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm phân

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng đã cho là

$\begin{array}{l}\frac{x-1}{1-2x}=x+m\\ \iff x-1=\left(1-2x\right)\left(x+m\right)\end{array}$

 (do $x=\frac{1}{2}$ không là nghiệm)

 $\iff 2x^2+2mx-m-1=0$ (*).

Đồ thị (C) với đường thẳng đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt $\iff m^2+2m+2>0$ (nghiệm đúng với mọi m).

Giả sử $E\left(x_1;y_1\right),F\left(x_2;y_2\right)$ thì $x_1,x_2$ là hai nghiệm của (*).

Suy ra $x_1+x_2=-m;x_1{x}_2=-\frac{m+1}{2}$.

Do đó $\left(2x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)=4x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+1=-1$.

Ta có

$\begin{array}{l}{k}_1=-\frac{1}{{\left(2x_1-2\right)}^2};\\ k_2=-\frac{1}{{\left(2x_2-1\right)}^2}\end{array}$

 nên $k_1{k}_2=1$.

Suy ra $S\ge 2k_1^2{k}_2^2-3k_1{k}_2=-1$. Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}{k}_1=-1\\ k_2=-1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=1\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=0\end{array}\right.\Rightarrow m=-1$. Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất bằng ‒1.