Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Giả sử $z=a+bi,\left(a,b\in ℝ\right)$. Khi đó

$\begin{array}{l}\left|z-3+4i\right|+\left|z+2-i\right|=5\sqrt{2}\\ \iff \sqrt{{\left(a-3\right)}^2+{\left(b+4\right)}^2}+\sqrt{{\left(a+2\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2}\\ =5\sqrt{2}\end{array}$

Coi $I\left(a;b\right),P\left(3;-4\right),Q\left(-2;1\right)$ và $R\left(4;3\right)$, với chú ý $PQ=5\sqrt{2}$ thì đẳng thức trên trở thành $IP+IQ=PQ$.

Đẳng thức trên chỉ xảy ra khi I thuộc đoạn PQ. Hơn nữa $\left|z-4-3i\right|=IR$.

Nhận thấy tam giác PQR là tam giác có ba góc nhọn nên

$\begin{array}{l}\min RI=d\left(R,PQ\right);\\ \max RI=\max \left\{RP,RQ\right\}\end{array}$

Bằng tính toán ta có $m=4\sqrt{2};M=5\sqrt{2}$. Suy ra $M^2+m^2=82$.