Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Ta tìm được $A\text{'}\left(x_0;0;y_0\right),C\text{'}\left(0;1;y_0\right)$.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AC' và song song với B'C thì $\left(P\right):y_{0}x+x_{0}z-x_0{y}_0=0$.

Do đó

$\begin{array}{l}d\left(AC\text{'},B\text{'}C\right)=d\left(C,\left(P\right)\right)\\ =\frac{x_0{y}_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\le \frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{x_0{y}_0}\le \frac{\sqrt{2}}{4}\left(x_0+y_0\right)\\ =\sqrt{2}\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $x_0=y_0=2$.

Tam giác ABC có $AB=4;AC=BC=\sqrt{5}$ nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $r=\frac{5}{2}$. Ta lại có $BB\text{'}=2$ nên mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có bán kính $R=\sqrt{r^2+\frac{1}{4}BB{\text{'}}^2}=\frac{\sqrt{29}}{2}$.