Xét các tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Đặt $a=BC,b=CA,c=AB$.

Quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA thì khối tròn xoay sinh ra là khối nón có chiều cao $h_1=\sqrt{R^2-\frac{1}{4}{b}^2}$ và bán kính đáy $r_1=\frac{1}{2}b$ nên ta có $V_1=\frac{1}{3}\pi r_1^2{h}_1=\frac{1}{24}\pi b^2\sqrt{4R^2-b^2}$.

Tương tự, ta có

$\begin{array}{l}{V}_2=\frac{1}{24}\pi c^2\sqrt{4R^2-c^2};\\ V_3=\frac{1}{24}\pi a^2\sqrt{4R^2-a^2}\end{array}$.

Bằng việc khảo sát hàm số $f\left(t\right)=t^2\left(4R^2-t\right)$ trên khoảng $\left(0;4R^2\right)$ hoặc dựa vào bất đẳng thức Cô-si

$\frac{1}{2}{b}^2.\frac{1}{2}{b}^2.\left(4R^2-b^2\right)\le {\left(\frac{\frac{1}{2}{b}^2+\frac{1}{2}{b}^2+4R^2-b^2}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}{R}^6$.

Ta được $V_1\le \frac{2\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3;V_2\le \frac{2\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3$. Suy ra $V_1+V_2\le \frac{4\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b=c=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$.

Vậy $V_1+V_2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{4\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3$ khi $b=c=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$.

Khi đó tam giác ABC cân tại A và có $AB=AC=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì $2R.AH=A{B}^2$. Từ đó suy ra $AH=\frac{A{B}^2}{2R}=\frac{4}{3}R$. Do đó $OH=AH-R=\frac{1}{3}R$ và $a=2\sqrt{R^2-O{H}^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}R$.

Suy ra $V_3=\frac{8\pi }{81}{R}^3$.