Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Đặt $t=\tan \frac{x}{2}$ ta có: $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{sinx+\cos x+2}$

$=\frac{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+2}=\frac{-t^2+2t+3}{t^2+2t+3}$ 

Tập các giá trị của y là tập các giá tri làm cho PT $y=\frac{-t^2+2t+3}{t^2+2t+3}\iff \left(y+1\right)t+2\left(y-1\right)t+3\left(y-1\right)=0$ có nghiệm với ẩn t

$$\begin{gathered} \Rightarrow \Delta \text{'}={\left(y-1\right)}^2-3\left(y+1\right)\left(y-1\right)=-2y^2-2y+4\ge 0 \\ \Rightarrow -2\le y\le 1\Rightarrow m=-2,M=1 \end{gathered}$$