Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình căn bậc 3 của (m-x)

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Điều kiện $x\ge \frac{3}{2}$ 

Ta có PT:

$\sqrt[3]{m-x}+\sqrt{2x-3}=2\iff \sqrt[3]{m-x}=2-\sqrt{2x-3}$ 

$\iff m-x={\left(2-\sqrt{2x-3}\right)}^3\iff m=x+{\left(2-\sqrt{2x-3}\right)}^3$

Xét hàm số: $f\left(x\right)=x+{\left(2-\sqrt{2x-3}\right)}^3$

$$\begin{gathered} \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=1+3{\left(2-\sqrt{2x-3}\right)}^2.\frac{-1}{\sqrt{2x-3}} \\ =\frac{\sqrt{2x-3}-3{\left(2-\sqrt{2x-3}\right)}^2}{\sqrt{2x-3}} \\ =\frac{\sqrt{2x-3}-2-3{\left(2-\sqrt{2x-3}\right)}^2+2}{\sqrt{2x-3}} \end{gathered}$$

 Đặt $\sqrt{2x-3}-2=t\left(t\ge -2\right)$

$\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=\frac{-3t^2+t+2}{t-2}\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\Rightarrow x=6\\ t=\frac{-2}{3}\Rightarrow x=\frac{43}{18}\end{array}\right.$ 

Ta có BBT  của f(x) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy để PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì  $2,4<m<5$ với m nguyên $\Rightarrow m\in \left\{3;4\right\}$