Số nghiệm nghiệm nguyên nhỏ hơn 2018 của bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

+ Điều kiện: x > 0

+ Đặt ${\log }_{\frac{1}{2}}x=t$. Bất phương trình $\iff \left(x+1\right)t^2+\left(2x+5\right)t+6\ge 0$ 

$\Delta ={\left(2x+5\right)}^2-4\left(x+1\right)+6={\left(2x-1\right)}^2$ 

Bất phương trình

$\begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{2}}x\le -2\\ {\log }_{\frac{1}{2}}x\ge -\frac{3}{x+1}\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}\\ 0<c\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{-3}{x+1}}\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x\ge 4\text{ (1)}\\ 0<x\le 2^{\frac{3}{x+1}}\end{array}\right.\end{array}$ 

+ Xét hàm số $f\left(x\right)=x-2^{\frac{3}{x+1}}$ có $f\text{'}\left(x\right)=1-2^{\frac{3}{x+1}}.\ln 2.\frac{-3}{{\left(x+1\right)}^2}>0\forall x>0$ 

Hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ 

+ Có $f\left(2\right)=0\Rightarrow f\left(x\right)=0$ coa nghiệm là x=2 

Bảng biến thiên:

Bất phương trình $x\le 2^{\frac{3}{x+1}}\iff f\left(x\right)\le 0\iff 0<x\le 2\left(2\right)$ 

Từ (1) và (2) => Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(0;2\right]\cup \left[4;+\infty \right)$ 

Vậy có 2016 nghiệm nguyên thỏa mãn.