cho z1,z2 là nghiệm phương trình | 6-3i+iz|=|2z-6-9i|

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in ℝ$; $z_1=x_1+y_{1}i$; $z_2=x_2+y_{2}i$ 

$\begin{array}{l}\left|6-3i+iz\right|=\left|2z-6+9i\right|\\ \iff x^2+y^2-6x+8y+24=0\end{array}$

Tập hợp điểm điểm biểu diễn z là đường tròn (C) tâm $I\left(3;4\right)$ và bán kính R=1.

+ Có $\left|z_1-z_2\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}$$=\left|\overrightarrow{M_1{M}_2}\right|$ với $M_1\left(x_1;y_1\right)$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$, $M_2\left(x_2;y_2\right)$ là điểm biểu diễn số phức $z_2$ 

$\Rightarrow M_1{M}_2=\frac{8}{5}$ ( $M_1,M_2$ thuộc đường trong $\left(C\right)$)

$\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2{\left(y_1+y_2\right)}^2}$$=\left|\overrightarrow{O{M}_1}+\overrightarrow{O{M}_2}\right|=2\left|\overrightarrow{OH}\right|$ với H là trung điểm của $M_1;M_2$ (hình vẽ)

$\Rightarrow {\left|z_1+z_2\right|}_{\max }\iff O{H}_{\max }$ mà $OH\le OI+IH$ 

$\begin{array}{l}\Rightarrow O{H}_{\max }=OI+IH\\ =5+IH=5+\sqrt{1-{\left(\frac{8}{10}\right)}^2}=\frac{28}{5}\\ \Rightarrow {\left|z_1+z_2\right|}_{\max }=2O{H}_{\max }=\frac{56}{5}\end{array}$