Thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Ta có

$\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-a\right)}^2=R^2\\ \iff y=a\pm \sqrt{R^2-x^2}\end{array}$ 

Nửa trên hình tròn có phương trình là $y=a+\sqrt{R^2-x^2}$ 

Nửa dưới hình tròn có phương trình là  $y=a-\sqrt{R^2-x^2}$ 

Thể tích của hình xuyến là

$\begin{array}{l}V=V_1-V_2\\ =\pi \underset{-R}{\overset{R}{\int }}{\left(a+\sqrt{R^2-x^2}\right)}^{2}dx-\pi \underset{-R}{\overset{R}{\int }}{\left(a-\sqrt{R^2-x^2}\right)}^{2}dx\\ =4\pi a\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\sqrt{R^2-x^2}dx\end{array}$

Đặt  $\left\{\begin{array}{l}x=R\sin t\Rightarrow dx=R\mathrm{costdt}\\ x=-R\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2};x=R=t=\frac{\pi }{2}\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow V=4\pi a\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{R^2-R^2{\sin }^{2}t}.R\cos tdt\\ =4\pi a{R}^2\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{2}tdt=2{\pi }^{2}a{R}^2\end{array}$