Cho tam giác ABC có A(1;2),B(5;4),C(3;-2). Gọi A',B',C' lần Cho tam giác ABC

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Gọi K(a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Ta có: $A{K}^2={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2;B{K}^2={\left(a-5\right)}^2+{\left(b-4\right)}^2$ và

$C{K}^2={\left(a-3\right)}^2+{\left(b+2\right)}^2$.

Từ $A{K}^2=B{K}^2=C{K}^2$, ta có $\left\{\begin{array}{l}{\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2={\left(a-5\right)}^2+{\left(b-4\right)}^2\\ {\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2={\left(a-3\right)}^2+{\left(b+2\right)}^2\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}-2a-4b+5=-10a-8b+41\\ -2a-4b+5=-6a+4b+13\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2a+b=9\\ a-2b=2\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\to K\left(4;1\right)\right.$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$ là $R=AK=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(1-2\right)}^2}=\sqrt{10}$.

Gọi K' là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆A\text{'}B\text{'}C\text{'}$, do $V_{\left(1;-3\right)}=\left(∆ABC\right)=∆A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ nên $V_{\left(1;-3\right)}\left(K\right)=K\text{'}\to \overrightarrow{IK }=-3\overrightarrow{IK }$. Mà $V_{\left(1;-3\right)}\left(A\right)=A\text{'}\to \overrightarrow{IA }=-3\overrightarrow{IA }$ .

Suy ra $\overrightarrow{IA\text{'} }-\overrightarrow{IK\text{'} }=-3\left(\overrightarrow{IA }-\overrightarrow{IK }\right)\iff \overrightarrow{K\text{'}A\text{'} }=-3\overrightarrow{KA }$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $∆A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ là $R=K\text{'}A\text{'}=3KA=3R=3\sqrt{10}$.