Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Phương trình có hoành độ giao điểm của d và (C):

$x^3+2m{x}^2+(m+3)x+4=x+4\iff \left[x^2+2mx+(m+2)\right]=0$

Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0;4) và C thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khác 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}{0}^2+2m.0+m+2\not\equiv 0\\ ∆\text{'}=m^2-m-2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+2\not\equiv 0\\ (m+1)(m-2)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\not\equiv -2\\ \left\{\begin{array}{l}m>2\\ m<-1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>2\\ \left\{\begin{array}{l}m<-1\\ m\not\equiv -2\end{array}\right.\end{array}\right.$ (1)

Giả sử $B\left(x_1;x_1+4\right)$ và $B\left(x_2;x_2+4\right)$ với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của (*)

Suy ra $BC=\sqrt{2}\left|x_1-x_2\right|$ và theo định lí Vi-ét: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=m+2\end{array}\right.$ 

Ta có $S_{∆MBC}=\frac{1}{2}d(M;BC).BC=\frac{1}{2}.\frac{\left|1-3+4\right|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}\left|x_1-x_2\right|=\left|x_1-x_2\right|$ 

Từ giả thiết ta có $S_{∆MBC}=4\iff \left|x_1-x_2\right|=4\iff {\left(x_1-x_2\right)}^2=16$ 

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=16\iff {(-2m)}^2-4(m+2)-16=0\iff 4m^2-4m-24=0$ 

$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ m=3\end{array}\right.$. Đối chiếu với điều kiện (1), chỉ có $m=3$ là thỏa mãn