Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương trình tương đương với  $4\left(4^x+\frac{1}{4^x}\right)=4(m+1)\left(2^x-\frac{1}{2^x}\right)+16-8m$ 

$\iff 4^x+\frac{1}{4^x}=(m+1)\left(2^x-\frac{1}{2^x}\right)+4-2m$ (1)

Đặt $2^x-\frac{1}{2^x}=t\to 4^x+\frac{1}{4^x}=t^2+2$. Xét hàm số $t\left(x\right)=2^x-\frac{1}{2^x}$ trên $\left[0;1\right]$.

Đạo hàm $t\text{'}\left(x\right)=2^x.\ln 2+\frac{\ln 2}{2^x}>0$$,\forall x\in \left[0;1\right]\Rightarrow$ Hàm số t (x) luôn đồng biến trên [0;1]. Suy ra $\underset{x\in [0;1]}{min}t\left(x\right)=t\left(0\right)=0$ và $\underset{x\in [0;1]}{max}t\left(x\right)=t\left(1\right)=\frac{3}{2}$. Như vậy $t\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.

Phương trình (1) có dạng: $t^2+2=(m+1)t+4-2m\iff t^2-(m+1)t+2m=0$ 

$\iff (t-2)\left(t+1-m\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}t=2\notin \left[0;\frac{3}{2}\right]\\ t=m-1\end{array}\right.$

Phương trình (1) có nghiệm $x\in \left[0;1\right]\iff$ phương trình ẩn t có nghiệm

$t\in \left[0;\frac{3}{2}\right]\iff 0\le m-1\le \frac{3}{2}\iff 1\le m\le \frac{5}{2}$. Mà $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $m\in \left\{1;2\right\}$ . Tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 3.