Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB. Do $∆SAB$ đều nên $SH\perp AB$ và $SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.

Mà $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)$ nên $SH\perp \left(ABCD\right)$.

Từ $\frac{d\left(S,\left(ABCD\right)\right)}{d\left(M,\left(ABCD\right)\right)}=\frac{SD}{MD}=2\Rightarrow d\left(M;\left(ABCD\right)\right)=\frac{d\left(S;\left(ABCD\right)\right)}{2}=\frac{SH}{2}=\sqrt{3}$.

Ta có $S_{∆PCN}=\frac{1}{2}PC.PN=\frac{1}{2}.\frac{BC}{2}.\frac{CD}{2}=\frac{1}{2}.\frac{4}{2}.\frac{4}{2}=2$ (đvdt).

$\to V_{M.PCN}=\frac{1}{3}.d\left(M;\left(ABCD\right)\right).S_{∆PCN}=\frac{1}{3}.\sqrt{3}.2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (đvdt) .

$\to y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Lại có $S_{ABPN}=S_{ABCD}-S_{∆PCN}=4^2-\frac{1}{2}.2.2-\frac{1}{2}.4.2=10$ (đvdt)

$V_{S.ABPN}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABPN}=\frac{1}{3}.2\sqrt{3}.10=\frac{20\sqrt{3}}{3}$(đvdt) .

* Phương án A:

$x^2+2xy-y^2={\left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)}^2+2.\frac{20\sqrt{3}}{3}.\frac{20\sqrt{3}}{3}-{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{476}{3}<160$ 

* Phương án B:

$x^2-2xy+2y^2={\left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)}^2-2.\frac{20\sqrt{3}}{3}.\frac{20\sqrt{3}}{3}+2{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{328}{3}>109$

* Phương án C:

$x^2+xy-y^4={\left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)}^2+\frac{20\sqrt{3}}{3}.\frac{20\sqrt{3}}{3}-{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^4=\frac{1304}{9}<145$

* Phương án D:

$x^2-xy+y^4={\left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)}^2-\frac{20\sqrt{3}}{3}.\frac{20\sqrt{3}}{3}+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^4=\frac{1096}{9}<125$