Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Gọi R là bán kính của hình cầu (S). Bài toán có thể quy về: “Cho đường tròn tâm O, bán kính R ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp $∆SEF$ đều” (hình vẽ).

Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên

$AB=BD=2R=AB\sqrt{2}\iff AB=\sqrt{2}R$ .

$\Rightarrow$ Bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (T) lần lượt là $r=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2}R}{2}$ và $h=AB=\sqrt{2}R$ .

Thể tích khối trụ là $V_{\left(T\right)}={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=\mathrm{\pi }.{\left(\frac{\sqrt{2}\mathrm{R}}{2}\right)}^2.\sqrt{2}\mathrm{R}=\frac{\mathrm{\pi }\sqrt{2}{\mathrm{R}}^3}{2}$.

Ta có $∆SEF$ đều và ngoại tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm của $\Delta SEF$.

Gọi H là trung điểm của EF thì $SH=3OH=3R\Rightarrow HF=SH.\tan 30°=R\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ Bán kính đáy và chiều cao của hình nón (N) lần lượt là $HF=R\sqrt{3}$ và $SH=3R$. Thể tích khối nón là $V_{\left(N\right)}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }.{\mathrm{HF}}^2.\mathrm{SH}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}\sqrt{3}\right)}^2.3\mathrm{R}=3{\mathrm{\pi R}}^3$.

Vậy $\frac{V_{\left(T\right)}}{V_{\left(N\right)}}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }\sqrt{2}{\mathrm{R}}^3}{2}}}{3{\mathrm{\pi R}}^3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$.