Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) Trong không gian với hệ tọa

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có $\overrightarrow{BC} =\left(-2;-1;-2\right)$ nên phương trình đường thẳng BC là $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=-t (t\in \mathrm{ℝ})\\ z=2-2t\end{array}\right.$ .

Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) . Khi đó $AH = d\left(A;\left(P\right)\right)\le AI$ và AH đạt giá trị lớn nhất khi $H\equiv I$. Suy ra mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với AI.

Từ $I\in BC\Rightarrow I\left(1-2t;-t;2-2t\right)$ và $\overrightarrow{AI }=\left(-1-2t;-t-5;-1-2t\right)$ .

Lại có $AI\perp BC\iff \overrightarrow{AI }.\overrightarrow{BC }=0\iff 2(1+2t)+(t+5)+2(1+2t)=0\iff t=-1$.

Mặt phẳng (P) đi qua I(3;1;4) và nhận VTPT là $\overrightarrow{AI }=\left(1;-4;1\right)$ nên có phương trình tổng quát là: $x-4y+z-3=0$.

Vậy $a=1,b=-4,c=1,d=-3\to M=\frac{1+1}{-4-3}=-\frac{2}{7}$.