Cắt một miếng giấy hình vuông và xếp thành một hình chóp tứ giác đều

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Sau khi cắt miếng giấy hình vuông như hình vẽ, ta xếp lại được thành hình chóp tứ giác đều S.MNPQ (hình bên).

Ta có $OM=x\Rightarrow MP=MQ=20M=2x=MN\sqrt{2}\Rightarrow MN=\sqrt{2}x$ (cm).

Gọi H là trung điểm$PQ\Rightarrow OH=\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{2}x}{2}$(cm) và $SH=10\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}x}{2}$ (cm).

Suy ra $SO=\sqrt{S{H}^2-O{H}^2}=\sqrt{{\left(10\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)}^2}=\sqrt{20(10-x)}$.

Thể tích khối chóp S.MNPQ là:

$V_{MNPQ}=\frac{1}{3}.SO.S_{MNPQ}=\frac{1}{3}\sqrt{20(10-x)}.{\left(\sqrt{2}x\right)}^2=\frac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{(40-4x).x^4}$
$\to V_{MNPQ}=\frac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{(40-4x).x.x.x.x}\le \frac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{\left(\frac{40-4x+x+x+x+x}{5}\right)}=\frac{256\sqrt{10}}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\iff 40-4x=x\iff x=8$ (cm).