Tìm số điểm cực trị của hàm số Tìm số điểm cực trị của hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Cách 1: Tập xác định:  $D=ℝ$

Ta có:

$\begin{array}{l}y={\left|x\right|}^3-x^2-\left|x\right|+1\\ =\sqrt{x^6}-x^2-\sqrt{x^2}+1\end{array}$  

 $\begin{array}{l}\Rightarrow y\text{'}=\frac{6x^5}{2\sqrt{x^6}}-2x-\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}\\ =\frac{3x^5-2x\sqrt{x^6}-x.\sqrt{x^4}}{\sqrt{x^6}}\end{array}$

Ta thấy y' không xác định tại x=0.

- Nếu $x>0$ :$y\text{'}=\frac{3x^2-2x^4-x^3}{x^3}=3x^2-2x-1$ ;$y\text{'}=0\Rightarrow x=1$ .

- Nếu $x<0$  : 

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{3x^5+2x^4-x^3}{-x^3}\\ =-3x^2-2x+1\\ y\text{'}=0\Rightarrow x=-1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Cách 2: Đặt $t=\left|x\right|,t\ge 0$  . Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3-t^2-t+\mathrm{1,}t\ge 0$ .

Ta có: 

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(t\right)=3t^2-2t-1;\\ f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=0\end{array}$

Bảng biến thiên của hàm số f(t):

Ta có hàm số $y={\left|x\right|}^3-x^2-\left|x\right|+1$  là hàm số chẵn (đồ thị đối xứng qua trục Oy).

Suy ra bảng biến thiên của hàm số $y={\left|x\right|}^3-{\left|x\right|}^2-\left|x\right|+1$ :

Do đó hàm số  $y={\left|x\right|}^3-{\left|x\right|}^2-\left|x\right|+1$ có 3 điểm cực trị.