Cho hàm số f(x) liên tục trên R Cho hàm số f(x) liên tục trên R

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Lấy tích phân hai vế của biểu thức $2f\left(x\right)+3f\left(-x\right)=\frac{1}{4+x^2}$, ta được

$2{\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx+3{\int }_{-2}^{2}f(-x)dx={\int }_{-2}^2\frac{1}{4+x^2}dx\iff 2I+3{\int }_{-2}^{2}f(-x)dx=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Xét $J={\int }_{-2}^{2}f(-x)dx$. Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$. Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=-2\to t=2\\ x=2\to t=-2\end{array}\right.$ 

Suy ra $J=-{\int }_2^{-2}f\left(t\right)dt={\int }_{-2}^{2}f\left(t\right)dt={\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx=I$.

Vậy $2I+3{\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\iff 2I+3I=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\iff I=\frac{\mathrm{\pi }}{20}$.